Bearbeiten von „Mathematik: Reelle Zahlen - Quadrieren und Wurzelziehen“

== Definition ==
Die reellen Zahlen bilden einen vollständigen Zahlenbereich.
=== Reelle Zahlen ===
Der Unterschied zwischen dem nächstkleineren Zahlenbereich, den rationalen Zahlen, ist, dass die rationalen Zahlen entweder abbrechend oder periodisch sind, jedoch gibt es Zahlen, die keine periodische Nachkommastellenabfolge besitzen und doch unendlich viele Nachkommastellen haben. Diese nennt man '''irrationale''' Zahlen. Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen die reellen Zahlen.

=== Quadrieren und Wurzelziehen ===
Das '''Quadrat''' einer Zahl a ist diejenige Zahl b, die sich ergibt, wenn man a mit sich selbst multipliziert, also: <code>b = a² = a ⋅ a</code>. Die '''Quadratwurzel''' aus einer Zahl a mit <code>a ≥ 0</code> ist diejenige Zahl b mit b ≥ 0, die mit sich selbst multipliziert a ergibt. Es gilt √a = b, da b² = a ist. Dabei ist a, also der Term unter der Wurzel der Radikand. Aus einer negativen Zahl kann keine Quadratwurzel gezogen werden. Genauso kann die Quadratwurzel einer Zahl nicht negativ sein. Die Quadratwurzel aus 0 ist 0.<br>
Das Quadrieren ist die '''Umkehrung''' zum Wurzelziehen, da gilt: (√a)² = a für alle a ≥ 0. Das Wurzelziehen ist nur für nichtnegative Zahlen die Umkehrung des Quadrierens, da gilt: √(a²) = |a| für alle a. Dabei sind die zwei Striche die Betragsoperation, die also angibt, wie weit eine Zahl von der 0 am Zahlenstrahl entfernt ist, folglich macht die Betragsoperation die Zahl darin nichtnegativ.

== Wurzelgesetze mit dem Radikanden ==
Wenn p und q ganze Zahlen mit q ≠ 0 sind, dann gilt: <code>√(p⋅q) = √p ⋅ √q</code> und <code>√(p/q) = (√p)/√q</code>. Für Addition und Subtraktion gilt dies nicht.

== Quadratische Gleichungen der Form x² = a ==
Die quadratische Gleichung x² = a hat
* für a > 0 die beiden Lösungen x<sub>1</sub> = √a und x<sub>2</sub> = -√a,
* für a = 0 nur die (doppelte) Lösung x<sub>1;2</sub> = 0,
* für a < 0 keine reelle Lösung.