Mathematik: Goldener Schnitt - Versionsgeschichte

Albert 3Stein am 14. Mai 2025 um 14:04 Uhr

2025-05-14T14:04:59Z

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	</ul>		</ul>
	<h3>φ in der Fibonacci-Folge und in der Lukas-Folge</h3>		<h3>φ in der Fibonacci-Folge und in der Lukas-Folge</h3>
	Die Fibonacci-Folge ist definiert durch die Folgenvorschrift <code>F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub></code>. Sie fängt an mit <code>F<sub>1</sub> = 0</code> und <code>F<sub>2</sub> = 1</code>.		<h4>Definition der Fibonacci- und Lukas-Folge</h4>
			Die <b>Fibonacci-Folge</b> ist definiert durch die Folgenvorschrift <code>F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub></code>. Sie fängt an mit <code>F<sub>1</sub> = 0</code> und <code>F<sub>2</sub> = 1</code>.<br>
			Die ersten Folgenglieder von F<sub>n</sub> lauten: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...<br>
			Die <b>Lukas-Folge</b> ist genauso definiert wie die Fibonacci-Folge, es wird mit L<sub>n</sub> bezeichnet. Der Unterschied zwischen den beiden Folgen ist, dass die Lukas-Folge mit <code>F<sub>1</sub> = 2</code> und <code>F<sub>2</sub> = 1</code> anfängt. Die ersten Folgenglieder von L<sub>n</sub> lauten: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 88

	<h2>Fazit</h2>		<h2>Fazit</h2>
	<p>Der Goldene Schnitt ist ein faszinierendes Konzept, das in vielen Bereichen des Lebens und der Wissenschaft eine Rolle spielt. Sein ästhetisches und harmonisches Verhältnis hat Künstler und Wissenschaftler über Jahrhunderte inspiriert.</p>		<p>Der Goldene Schnitt ist ein faszinierendes Konzept, das in vielen Bereichen des Lebens und der Wissenschaft eine Rolle spielt. Sein ästhetisches und harmonisches Verhältnis hat Künstler und Wissenschaftler über Jahrhunderte inspiriert.</p>

Albert 3Stein am 14. Mai 2025 um 13:12 Uhr

2025-05-14T13:12:13Z

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	</ul>		</ul>
	<h3>φ in der Fibonacci-Folge und in der Lukas-Folge</h3>		<h3>φ in der Fibonacci-Folge und in der Lukas-Folge</h3>
	Die Fibonacci-Folge ist definiert durch die Folgenvorschrift <code>F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub></code>.		Die Fibonacci-Folge ist definiert durch die Folgenvorschrift <code>F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub></code>. Sie fängt an mit <code>F<sub>1</sub> = 0</code> und <code>F<sub>2</sub> = 1</code>.

	<h2>Fazit</h2>		<h2>Fazit</h2>
	<p>Der Goldene Schnitt ist ein faszinierendes Konzept, das in vielen Bereichen des Lebens und der Wissenschaft eine Rolle spielt. Sein ästhetisches und harmonisches Verhältnis hat Künstler und Wissenschaftler über Jahrhunderte inspiriert.</p>		<p>Der Goldene Schnitt ist ein faszinierendes Konzept, das in vielen Bereichen des Lebens und der Wissenschaft eine Rolle spielt. Sein ästhetisches und harmonisches Verhältnis hat Künstler und Wissenschaftler über Jahrhunderte inspiriert.</p>

Albert 3Stein am 14. Mai 2025 um 13:10 Uhr

2025-05-14T13:10:18Z

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	</ul>		</ul>
	<h3>φ in der Fibonacci-Folge und in der Lukas-Folge</h3>		<h3>φ in der Fibonacci-Folge und in der Lukas-Folge</h3>
			Die Fibonacci-Folge ist definiert durch die Folgenvorschrift <code>F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub></code>.

	<h2>Fazit</h2>		<h2>Fazit</h2>
	<p>Der Goldene Schnitt ist ein faszinierendes Konzept, das in vielen Bereichen des Lebens und der Wissenschaft eine Rolle spielt. Sein ästhetisches und harmonisches Verhältnis hat Künstler und Wissenschaftler über Jahrhunderte inspiriert.</p>		<p>Der Goldene Schnitt ist ein faszinierendes Konzept, das in vielen Bereichen des Lebens und der Wissenschaft eine Rolle spielt. Sein ästhetisches und harmonisches Verhältnis hat Künstler und Wissenschaftler über Jahrhunderte inspiriert.</p>

Albert 3Stein am 7. Mai 2025 um 13:51 Uhr

2025-05-07T13:51:00Z

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	</pre>		</pre>
	Es entstehen also zwei Lösungen dieser Gleichung, einmal eine positive Lösung φ<sub>1</sub> und eine negative Lösung φ<sub>2</sub>. Da φ ein Verhältnis ist, ist <code>φ<sub>1</sub> = φ</code>. Da die negative Lösung auch Eigenschaften hat, wird es auch mit einem speziellen Buchstaben versehen, nämlich ψ (Psi).		Es entstehen also zwei Lösungen dieser Gleichung, einmal eine positive Lösung φ<sub>1</sub> und eine negative Lösung φ<sub>2</sub>. Da φ ein Verhältnis ist, ist <code>φ<sub>1</sub> = φ</code>. Da die negative Lösung auch Eigenschaften hat, wird es auch mit einem speziellen Buchstaben versehen, nämlich ψ (Psi).
			<h3>Eigenschaften</h3>
			Aus dem genauen Ermitteln von φ kann man sehr faszinierende Eigenschaften von dieser Zahl herausnehmen.
			Eine Eigenschaft ist: φ² und 1/φ haben genau dieselben Nachkommastellen wie φ selbst, da <code>φ² = φ + 1</code> und <code>1 + 1 / φ = φ</code> gilt.

	<h2>Geschichte</h2>		<h2>Geschichte</h2>
	<p>Der Goldene Schnitt hat eine lange Geschichte, die bis in die Antike zurückreicht. Er wurde von den alten Griechen, insbesondere von Mathematikern wie Euklid, untersucht. In der Renaissance erlebte das Konzept eine Wiederbelebung, als Künstler und Architekten begannen, es in ihren Arbeiten zu verwenden.</p>		<p>Der Goldene Schnitt hat eine lange Geschichte, die bis in die Antike zurückreicht. Er wurde von den alten Griechen, insbesondere von Mathematikern wie Euklid, untersucht. In der Renaissance erlebte das Konzept eine Wiederbelebung, als Künstler und Architekten begannen, es in ihren Arbeiten zu verwenden.</p>
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	<li><b>Irrationalität:</b> φ ist die irrationalste Zahl in den reellen Zahlen, das heißt man kann am <i>schlechtesten</i> einen rationalen Näherungswert für φ finden.</li>		<li><b>Irrationalität:</b> φ ist die irrationalste Zahl in den reellen Zahlen, das heißt man kann am <i>schlechtesten</i> einen rationalen Näherungswert für φ finden.</li>
	</ul>		</ul>
			<h3>φ in der Fibonacci-Folge und in der Lukas-Folge</h3>


	<h2>Fazit</h2>		<h2>Fazit</h2>
	<p>Der Goldene Schnitt ist ein faszinierendes Konzept, das in vielen Bereichen des Lebens und der Wissenschaft eine Rolle spielt. Sein ästhetisches und harmonisches Verhältnis hat Künstler und Wissenschaftler über Jahrhunderte inspiriert.</p>		<p>Der Goldene Schnitt ist ein faszinierendes Konzept, das in vielen Bereichen des Lebens und der Wissenschaft eine Rolle spielt. Sein ästhetisches und harmonisches Verhältnis hat Künstler und Wissenschaftler über Jahrhunderte inspiriert.</p>

Albert 3Stein am 7. Mai 2025 um 13:01 Uhr

2025-05-07T13:01:14Z

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Zeile 15:		Zeile 15:
	φ² - φ - 1 = 0		φ² - φ - 1 = 0
	</pre>		</pre>
	Diese Gleichung wird gelöst mit der p-q-Formel, wenn <~~p style="color:red"~~>p~~</p>~~, ~~<p style~~=~~"color:blue">q~~</p> ~~= -1~~:		Diese Gleichung wird gelöst mit der p-q-Formel, wenn <code>p, q = -1</code>:
	<pre>		<pre>
	φ² - φ - 1 = 0		φ² - φ - 1 = 0

Albert 3Stein am 7. Mai 2025 um 12:49 Uhr

2025-05-07T12:49:06Z

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Zeile 15:		Zeile 15:
	φ² - φ - 1 = 0		φ² - φ - 1 = 0
	</pre>		</pre>
	Diese Gleichung wird gelöst mit der p-q-Formel, wenn ~~<code>~~<p style="color:red">p</p>, <p style="color:blue">q</p> = -1~~</code>~~:		Diese Gleichung wird gelöst mit der p-q-Formel, wenn <p style="color:red">p</p>, <p style="color:blue">q</p> = -1:
	<pre>		<pre>
	φ² - φ - 1 = 0		φ² - φ - 1 = 0

Albert 3Stein am 7. Mai 2025 um 12:48 Uhr

2025-05-07T12:48:31Z

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Zeile 15:		Zeile 15:
	φ² - φ - 1 = 0		φ² - φ - 1 = 0
	</pre>		</pre>
	Diese Gleichung wird gelöst mit der p-q-Formel, wenn <code>p, q = -1</code>:		Diese Gleichung wird gelöst mit der p-q-Formel, wenn <code><p style="color:red">p</p>, <p style="color:blue">q</p> = -1</code>:
	<pre>		<pre>
	φ² - φ - 1 = 0		φ² - φ - 1 = 0

Albert 3Stein am 27. April 2025 um 08:40 Uhr

2025-04-27T08:40:11Z

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Zeile 20:		Zeile 20:
	φ = -(-1/2) ± sqrt((-1/2)² - (-1) \| T		φ = -(-1/2) ± sqrt((-1/2)² - (-1) \| T
	φ = 1/2 ± sqrt(1/4 + 1) \| T		φ = 1/2 ± sqrt(1/4 + 1) \| T
	φ = 1/2 ± sqrt(5/4)		φ = 1/2 ± sqrt(5/4) \| T
	φ = 1/2 ± sqrt(5)/2		φ = 1/2 ± sqrt(5)/2 \| T
	φ = (1 ± sqrt(5))/2		φ = (1 ± sqrt(5))/2
	</pre>		</pre>
Zeile 29:		Zeile 29:

	<h2>Anwendungen</h2>		<h2>Anwendungen</h2>
			Diese Anwendungen vom goldenen Schnitt sind nicht genau <code>φ</code>, sondern nur 1,6.
	<ul>		<ul>
	<li><strong>Kunst:</strong> Viele berühmte Künstler, darunter Leonardo da Vinci und Salvador Dalí, haben den Goldenen Schnitt in ihren Gemälden verwendet.</li>		<li><strong>Kunst:</strong> Viele berühmte Künstler, darunter Leonardo da Vinci und Salvador Dalí, haben den Goldenen Schnitt in ihren Gemälden verwendet.</li>
	<li><strong>Architektur:</strong> Der Parthenon in Athen ist ein bekanntes Beispiel für die Anwendung des Goldenen Schnitts in der Architektur.</li>		<li><strong>Architektur:</strong> Der Parthenon in Athen ist ein bekanntes Beispiel für die Anwendung des Goldenen Schnitts in der Architektur.</li>
	<li><strong>Natur:</strong> Der Goldene Schnitt findet sich auch in der Natur, beispielsweise in der Anordnung von Blütenblättern oder der Spiralen von Muscheln.</li>		<li><strong>Natur:</strong> Der Goldene Schnitt findet sich auch in der Natur, beispielsweise in der Anordnung von Blütenblättern oder der Spiralen von Muscheln.</li>
			</ul>
			Dies sind reale Vorkommnisse:
			<ul>
			<li><b>Fibonacci-Folge:</b> Der Multiplikator eines Folgengliedes, sodass das nächste Folgenglied entsteht, konvergiert gegen φ.</li>
			<li><b>Regelmäßiges Fünfeck:</b> Die Diagonale eines regelmäßigen Fünfecks mit Seitenlänge 1 ist φ.</li>
			<li><b>Irrationalität:</b> φ ist die irrationalste Zahl in den reellen Zahlen, das heißt man kann am <i>schlechtesten</i> einen rationalen Näherungswert für φ finden.</li>
	</ul>		</ul>

	<h2>Fazit</h2>		<h2>Fazit</h2>
	<p>Der Goldene Schnitt ist ein faszinierendes Konzept, das in vielen Bereichen des Lebens und der Wissenschaft eine Rolle spielt. Sein ästhetisches und harmonisches Verhältnis hat Künstler und Wissenschaftler über Jahrhunderte inspiriert.</p>		<p>Der Goldene Schnitt ist ein faszinierendes Konzept, das in vielen Bereichen des Lebens und der Wissenschaft eine Rolle spielt. Sein ästhetisches und harmonisches Verhältnis hat Künstler und Wissenschaftler über Jahrhunderte inspiriert.</p>

Albert 3Stein am 27. April 2025 um 07:11 Uhr

2025-04-27T07:11:48Z

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Zeile 24:		Zeile 24:
	φ = (1 ± sqrt(5))/2		φ = (1 ± sqrt(5))/2
	</pre>		</pre>
	Es entstehen also zwei Lösungen dieser Gleichung, einmal eine positive Lösung φ<sub>1</sub> und eine negative Lösung φ<sub>2</sub>. Da φ ein Verhältnis ist, ist <code>φ<sub>1</sub> = φ</code> Da die negative Lösung auch Eigenschaften hat, wird es auch mit einem speziellen Buchstaben versehen, nämlich ψ (Psi).		Es entstehen also zwei Lösungen dieser Gleichung, einmal eine positive Lösung φ<sub>1</sub> und eine negative Lösung φ<sub>2</sub>. Da φ ein Verhältnis ist, ist <code>φ<sub>1</sub> = φ</code>. Da die negative Lösung auch Eigenschaften hat, wird es auch mit einem speziellen Buchstaben versehen, nämlich ψ (Psi).
	<h2>Geschichte</h2>		<h2>Geschichte</h2>
	<p>Der Goldene Schnitt hat eine lange Geschichte, die bis in die Antike zurückreicht. Er wurde von den alten Griechen, insbesondere von Mathematikern wie Euklid, untersucht. In der Renaissance erlebte das Konzept eine Wiederbelebung, als Künstler und Architekten begannen, es in ihren Arbeiten zu verwenden.</p>		<p>Der Goldene Schnitt hat eine lange Geschichte, die bis in die Antike zurückreicht. Er wurde von den alten Griechen, insbesondere von Mathematikern wie Euklid, untersucht. In der Renaissance erlebte das Konzept eine Wiederbelebung, als Künstler und Architekten begannen, es in ihren Arbeiten zu verwenden.</p>

Albert 3Stein am 27. April 2025 um 07:11 Uhr

2025-04-27T07:11:03Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. April 2025, 09:11 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:
	φ = (1 ± sqrt(5))/2		φ = (1 ± sqrt(5))/2
	</pre>		</pre>
	Es entstehen also zwei Lösungen dieser Gleichung, einmal eine positive Lösung φ<sub>1</sub> und eine negative Lösung φ<sub>2</sub>. Da φ ein Verhältnis ~~werden sollte~~,		Es entstehen also zwei Lösungen dieser Gleichung, einmal eine positive Lösung φ<sub>1</sub> und eine negative Lösung φ<sub>2</sub>. Da φ ein Verhältnis ist, ist <code>φ<sub>1</sub> = φ</code> Da die negative Lösung auch Eigenschaften hat, wird es auch mit einem speziellen Buchstaben versehen, nämlich ψ (Psi).
	<h2>Geschichte</h2>		<h2>Geschichte</h2>
	<p>Der Goldene Schnitt hat eine lange Geschichte, die bis in die Antike zurückreicht. Er wurde von den alten Griechen, insbesondere von Mathematikern wie Euklid, untersucht. In der Renaissance erlebte das Konzept eine Wiederbelebung, als Künstler und Architekten begannen, es in ihren Arbeiten zu verwenden.</p>		<p>Der Goldene Schnitt hat eine lange Geschichte, die bis in die Antike zurückreicht. Er wurde von den alten Griechen, insbesondere von Mathematikern wie Euklid, untersucht. In der Renaissance erlebte das Konzept eine Wiederbelebung, als Künstler und Architekten begannen, es in ihren Arbeiten zu verwenden.</p>