Mathematik: Quadratische Gleichungen und Funktionen - Versionsgeschichte

Albert 3Stein am 26. August 2026 um 12:11 Uhr

2026-08-26T12:11:23Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. August 2026, 14:11 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:
	* für a < 0 zusätzlich durch Spiegelungen an der x-Achse,		* für a < 0 zusätzlich durch Spiegelungen an der x-Achse,
	* durch Verschiebung entlang der x-Achse um d Einheiten,		* durch Verschiebung entlang der x-Achse um d Einheiten,
	* durch Verschiebung entlang der y-Achse um e Einheiten,		* durch Verschiebung entlang der y-Achse um e Einheiten.
			Hat eine quadratische Funktion eine Funktionsgleichung der Form f(x) = a(x - d)² + e, so spricht man von der Scheitelpunktform, da man die Koordinaten des Scheitelpunkts aus der Funktionsgleichung direkt ablesen kann.
	== Fotoquellen ==		== Fotoquellen ==
	* Wikipedia		* Wikipedia

Albert 3Stein am 26. August 2026 um 12:04 Uhr

2026-08-26T12:04:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. August 2026, 14:04 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:

	==== a(x - d)² + e = 0 ====		==== a(x - d)² + e = 0 ====
	Man löst diese Gleichung, indem man zuerst e subtrahiert, durch a dividiert und die [[Mathematik: Reelle Zahlen - Quadrieren und Wurzelziehen\|Wurzel]] zieht. Nachdem man mit d addiert, erhält man zwei verschiedene Werte für x.		Diese Gleichung ist die Suche nach Nullstellen der [[#Scheitelpunktform\|Scheitelpunktform]]. Man löst diese Gleichung, indem man zuerst e subtrahiert, durch a dividiert und die [[Mathematik: Reelle Zahlen - Quadrieren und Wurzelziehen\|Wurzel]] zieht. Nachdem man mit d addiert, erhält man zwei verschiedene Werte für x.

	=== Satz vom Nullprodukt ===		=== Satz vom Nullprodukt ===
Zeile 30:		Zeile 30:
	Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.		Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.
	=== Die Normalparabel ===		=== Die Normalparabel ===
	Die '''Normalparabel''' ist der Graph der einfachsten quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung <code>y = x²</code>. Die Normalparabel wird von -∞ bis 0 immer flacher, im Zeitpunkt <code>x = 0</code> hat sie ihre einzige Nullstelle und die Steigung 0 und von 0 bis ∞ immer steiler. Die Normalparabel ist nach unten geöffnet.		Die '''Normalparabel''' ist der Graph der einfachsten quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung <code>y = x²</code>. Die Normalparabel wird von -∞ bis 0 immer flacher, im Zeitpunkt <code>x = 0</code> hat sie ihre einzige Nullstelle, ihren Scheitelpunkt und die Steigung 0 und von 0 bis ∞ immer steiler. Die Normalparabel ist nach unten geöffnet.
	=== Strecken, Stauchen und Spiegeln der Normalparabel ===		=== Strecken, Stauchen und Spiegeln der Normalparabel ===
	Der Graph der Funktion f mit <code>f(x) = ax²</code> ist eine Parabel. Der Graph entsteht aus der Normalparabel durch Streckung oder Stauchung um den Faktor a.		Der Graph der Funktion f mit <code>f(x) = ax²</code> ist eine Parabel. Der Graph entsteht aus der Normalparabel durch Streckung oder Stauchung um den Faktor a.
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	Für a < 0 wird die Parabel zusätzlich an der x-Achse gespiegelt und ist nach unten geöffnet.		Für a < 0 wird die Parabel zusätzlich an der x-Achse gespiegelt und ist nach unten geöffnet.
	=== Verschieben der Normalparabeln in y-Richtung ===		=== Verschieben der Normalparabeln in y-Richtung ===
	Der Graph der Funktion f mit <code>f(x) = x² + c</code> entsteht aus		Der Graph der Funktion f mit <code>f(x) = x² + c</code> entsteht aus der Normalparabel durch Verschiebung um c Einheiten entlang der y-Achse. Der Schnittpunkt der Parabel liegt bei S(0\|c).
			* <code>c < 0</code>: Verschiebung nach unten, f hat zwei Nullstellen.
			* <code>c = 0</code>: Normalparabel, f hat eine Nullstelle.
			* <code>c > 0</code>: Verschiebung nach oben, f hat keine Nullstellen.
			=== Verschieben der Normalparabeln in x-Richtung ===
			Der Graph der Funktion f mit <code>f(x) = (x - d)²</code> entsteht aus der Normalparabel durch Verschiebung um d Einheiten entlang der x-Achse. Der Schnittpunkt der Parabel liegt bei S(d\|0).
			* <code>c < 0</code>: Verschiebung nach rechts
			* <code>c > 0</code>: Verschiebung nach links
			=== Scheitelpunktform ===
			Der Graph der Funktion f mit <code>f(x) = a(x - d)² + e</code> ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(d\|e). Der Graph von f entsteht aus der Normalparabel
			* durch Streckung oder Stauchung mit dem Streckfaktor a,
			* für a < 0 zusätzlich durch Spiegelungen an der x-Achse,
			* durch Verschiebung entlang der x-Achse um d Einheiten,
			* durch Verschiebung entlang der y-Achse um e Einheiten,

	== Fotoquellen ==		== Fotoquellen ==
	* Wikipedia		* Wikipedia

Albert 3Stein am 19. August 2026 um 12:36 Uhr

2026-08-19T12:36:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. August 2026, 14:36 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:

	=== Satz vom Nullprodukt ===		=== Satz vom Nullprodukt ===
	Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass bei einem Produkt, dass 0 beträgt, mindestens einer der Faktoren 0 sein muss. ~~WIr~~ betrachten also die Gleichung <code>(x - a)(x - b) = 0</code>. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist entweder <code>x - a</code> oder <code>x - b</code> gleich 0, weshalb die beiden Lösungen <code>x<sub>1</sub> = a</code> und <code>x<sub>2</sub> = b</code> lauten. <br>		Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass bei einem Produkt, dass 0 beträgt, mindestens einer der Faktoren 0 sein muss. Wir betrachten also die Gleichung <code>(x - a)(x - b) = 0</code>. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist entweder <code>x - a</code> oder <code>x - b</code> gleich 0, weshalb die beiden Lösungen <code>x<sub>1</sub> = a</code> und <code>x<sub>2</sub> = b</code> lauten. <br>
	Der Satz vom Nullprodukt gilt auch für mehrere Faktoren und auch für andere Arten von Faktoren.		Der Satz vom Nullprodukt gilt auch für mehrere Faktoren und auch für andere Arten von Faktoren.

Zeile 28:		Zeile 28:

	== Quadratische Funktionen ==		== Quadratische Funktionen ==
	Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel		Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.
	=== Die Normalparabel ===		=== Die Normalparabel ===
	Die '''~~[[https://de.wikipedia.org/wiki/Normalparabel#/media/Datei:Parabola2.svg\|~~Normalparabel]]''' ist der Graph der einfachsten quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung <code>y = x²</code>.		Die '''Normalparabel''' ist der Graph der einfachsten quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung <code>y = x²</code>. Die Normalparabel wird von -∞ bis 0 immer flacher, im Zeitpunkt <code>x = 0</code> hat sie ihre einzige Nullstelle und die Steigung 0 und von 0 bis ∞ immer steiler. Die Normalparabel ist nach unten geöffnet.
			=== Strecken, Stauchen und Spiegeln der Normalparabel ===
			Der Graph der Funktion f mit <code>f(x) = ax²</code> ist eine Parabel. Der Graph entsteht aus der Normalparabel durch Streckung oder Stauchung um den Faktor a.
			* a > 1 oder a < 1: Streckung ("schmaler als die Normalparabel)
			* 0 < a < 1 oder -1 < a < 1: Stauchung ("breiter" als die Normalparabel)
			Für a < 0 wird die Parabel zusätzlich an der x-Achse gespiegelt und ist nach unten geöffnet.
			=== Verschieben der Normalparabeln in y-Richtung ===
			Der Graph der Funktion f mit <code>f(x) = x² + c</code> entsteht aus

	== Fotoquellen ==		== Fotoquellen ==
	* Wikipedia		* Wikipedia

Albert 3Stein am 19. August 2026 um 12:05 Uhr

2026-08-19T12:05:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. August 2026, 14:05 Uhr
Zeile 29:		Zeile 29:
	== Quadratische Funktionen ==		== Quadratische Funktionen ==
	Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel		Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel
	=== Die Normalparabel ==		=== Die Normalparabel ===
	Die '''[[https://de.wikipedia.org/wiki/Normalparabel#/media/Datei:Parabola2.svg\|Normalparabel]]''' ist der Graph der einfachsten quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung <code>y = x²</code>.		Die '''[[https://de.wikipedia.org/wiki/Normalparabel#/media/Datei:Parabola2.svg\|Normalparabel]]''' ist der Graph der einfachsten quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung <code>y = x²</code>.

	== Fotoquellen ==		== Fotoquellen ==
	* Wikipedia		* Wikipedia

Albert 3Stein am 19. August 2026 um 12:03 Uhr

2026-08-19T12:03:53Z

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-Quadratische Funktionen sind Polynome 2. Grades, d. h. sie enthalten in der Funktionsgleichung ein <code>x²</code>. Zu Quadrieren und Wurzelziehen [[Mathematik: Reelle Zahlen - Quadrieren und Wurzelziehen|hier]]. Quadratische Gleichungen sind die Suche nach Nullstellen dieser Funktionen.
+Quadratische Funktionen sind Polynome 2. Grades, d. h. sie enthalten in der Funktionsgleichung ein <code>x²</code>. Zu Quadrieren und Wurzelziehen [[Mathematik: Reelle Zahlen - Quadrieren und Wurzelziehen|hier]]. Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, die nach Nullstellen dieser Funktionen suchen.
 == Quadratische Gleichungen ==
 === Einfache Gleichungen und Lösungen derer ===
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 </pre>
 Also lautet die pq-Formel: <code>x<sub>1,2</sub> = -(p/2) ± √(p/2)² - q</code>.

Albert 3Stein am 3. Juni 2026 um 12:18 Uhr

2026-06-03T12:18:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2026, 14:18 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	(x + p/2)² = (p/2)² - q \|√		(x + p/2)² = (p/2)² - q \|√
	x + p/2 = ±√(p/2)² - q \|-(p/2)		x + p/2 = ±√(p/2)² - q \|-(p/2)
	x = -(p/2) ± √(p/2)² - q ~~<sub>sub</sub>~~		x = -(p/2) ± √(p/2)² - q
	</pre>		</pre>
			Also lautet die pq-Formel: <code>x<sub>1,2</sub> = -(p/2) ± √(p/2)² - q</code>.

Albert 3Stein am 3. Juni 2026 um 12:17 Uhr

2026-06-03T12:17:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2026, 14:17 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	(x + p/2)² = (p/2)² - q \|√		(x + p/2)² = (p/2)² - q \|√
	x + p/2 = ±√(p/2)² - q \|-(p/2)		x + p/2 = ±√(p/2)² - q \|-(p/2)
	x = -(p/2) ± √(p/2)² - q		x = -(p/2) ± √(p/2)² - q <sub>sub</sub>
			</pre>

Albert 3Stein am 3. Juni 2026 um 12:15 Uhr

2026-06-03T12:15:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2026, 14:15 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:

	=== Satz vom Nullprodukt ===		=== Satz vom Nullprodukt ===
	Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass bei einem Produkt, dass 0 beträgt, mindestens einer der Faktoren 0 sein muss. WIr betrachten also die Gleichung <code>(x - a)(x - b) = 0</code>. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist entweder <code>x - a</code> oder <code>x - b</code> 0, weshalb die beiden Lösungen <code>x<sub>1</sub> = a</code> und <code>x<sub>2</sub> = b</code> lauten.		Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass bei einem Produkt, dass 0 beträgt, mindestens einer der Faktoren 0 sein muss. WIr betrachten also die Gleichung <code>(x - a)(x - b) = 0</code>. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist entweder <code>x - a</code> oder <code>x - b</code> gleich 0, weshalb die beiden Lösungen <code>x<sub>1</sub> = a</code> und <code>x<sub>2</sub> = b</code> lauten. <br>
			Der Satz vom Nullprodukt gilt auch für mehrere Faktoren und auch für andere Arten von Faktoren.

			=== pq-Formel ===
			Wir betrachten die Gleichung <code>x² + px + q</code>. Um sie zu lösen, wird die pq-Formel angewendet. Um sie herzuleiten, wird das Prinzip der '''quadratischen Ergänzung''' angewandt. Es handelt sich um das Ergänzen von einem Term x² + px zu einer binomischen Formel. Man tut es, indem man p halbiert, quadriert und schließlich addiert. So wird also die pq-Formel hergeleitet:
			<pre>
			x² + px + q = 0 \|-q
			x² + px = -q \|+(p/2)²
			x² + px + (p/2)² = (p/2)² - q \|bin. Formel
			(x + p/2)² = (p/2)² - q \|√
			x + p/2 = ±√(p/2)² - q \|-(p/2)
			x = -(p/2) ± √(p/2)² - q

Albert 3Stein: /* Einfache Gleichungen und Lösungen derer */

2026-06-03T11:50:22Z

Einfache Gleichungen und Lösungen derer

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2026, 13:50 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:

	==== a(x - d)² + e = 0 ====		==== a(x - d)² + e = 0 ====
	Man löst diese Gleichung, indem man zuerst e subtrahiert, durch a dividiert und die [[Mathematik:~~Wurzel~~\|Wurzel]] zieht		Man löst diese Gleichung, indem man zuerst e subtrahiert, durch a dividiert und die [[Mathematik: Reelle Zahlen - Quadrieren und Wurzelziehen\|Wurzel]] zieht. Nachdem man mit d addiert, erhält man zwei verschiedene Werte für x.

			=== Satz vom Nullprodukt ===
			Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass bei einem Produkt, dass 0 beträgt, mindestens einer der Faktoren 0 sein muss. WIr betrachten also die Gleichung <code>(x - a)(x - b) = 0</code>. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist entweder <code>x - a</code> oder <code>x - b</code> 0, weshalb die beiden Lösungen <code>x<sub>1</sub> = a</code> und <code>x<sub>2</sub> = b</code> lauten.

Albert 3Stein: /* (x - d)² + e = 0 */

2026-06-03T11:38:33Z

(x - d)² + e = 0

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2026, 13:38 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	Diese Gleichung wird in [[Mathematik: Reelle Zahlen - Quadrieren und Wurzelziehen\|diesem Artikel]] betrachtet.		Diese Gleichung wird in [[Mathematik: Reelle Zahlen - Quadrieren und Wurzelziehen\|diesem Artikel]] betrachtet.

	==== (x - d)² + e = 0 ====		==== a(x - d)² + e = 0 ====
			Man löst diese Gleichung, indem man zuerst e subtrahiert, durch a dividiert und die [[Mathematik:Wurzel\|Wurzel]] zieht