Mathematik: Reelle Zahlen - Quadrieren und Wurzelziehen - Versionsgeschichte

Albert 3Stein am 3. Juni 2026 um 11:25 Uhr

2026-06-03T11:25:40Z

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	== Rationalmachen des Ńenners ==		== Rationalmachen des Ńenners ==
	Wenn man einen Bruch mit einer Wurzel als Bruch hat, dann erweitert man mit dem Nenner. Die Wurzel befindet sich dann im Zähler. Bsp.: <code>2/√5 = 2√5/5 = (2/5)√5</code>.		Wenn man einen Bruch mit einer Wurzel als Bruch hat, dann erweitert man mit dem Nenner. Die Wurzel befindet sich dann im Zähler. Bsp.: <code>2/√5 = 2√5/5 = (2/5)√5</code>.

			== Beweis, dass √2 irrational ist ==
			kommt noch

Albert 3Stein am 20. Mai 2026 um 12:03 Uhr

2026-05-20T12:03:38Z

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	== Teilweises Wurzelziehen und Wurzeln zusammenfassen ==		== Teilweises Wurzelziehen und Wurzeln zusammenfassen ==
	~~Als~~ '''teilweises Wurzelziehen''' versteht man, dass man den Radikand als Produkt aus einer Quadratzahl und einer weiteren natürlichen Zahl schreibt und man dann aus der Quadratzahl die Wurzel zieht.		Unter '''teilweises Wurzelziehen''' versteht man, dass man den Radikand als Produkt aus einer Quadratzahl und einer weiteren natürlichen Zahl schreibt und man dann aus der Quadratzahl die Wurzel zieht. Bsp.: <code>√54 = √9 ⋅ √6 = 3√6</code><br>
			Unter '''Zusammenfassen von Wurzeln''' versteht man die Addition von Wurzeln, z. B. <code>√5 + 3√5 = 4√5</code>.

			== Rationalmachen des Ńenners ==
			Wenn man einen Bruch mit einer Wurzel als Bruch hat, dann erweitert man mit dem Nenner. Die Wurzel befindet sich dann im Zähler. Bsp.: <code>2/√5 = 2√5/5 = (2/5)√5</code>.

Albert 3Stein am 20. Mai 2026 um 11:47 Uhr

2026-05-20T11:47:33Z

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	== Einige Quadratzahlen ==		== Einige Quadratzahlen ==
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	~~\|+Quadratzahlen~~
	! n		! n
	! n²		! n²

Albert 3Stein am 20. Mai 2026 um 11:47 Uhr

2026-05-20T11:47:16Z

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	== Einige Quadratzahlen ==		== Einige Quadratzahlen ==
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|+ Quadratzahlen		\|+Quadratzahlen
	! n		! n
	! n²		! n²

Albert 3Stein am 20. Mai 2026 um 11:46 Uhr

2026-05-20T11:46:48Z

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	== Einige Quadratzahlen ==		== Einige Quadratzahlen ==
	{\|		{\| class="wikitable"
	\|+ Quadratzahlen		\|+ Quadratzahlen
	! n		! n

Albert 3Stein am 20. Mai 2026 um 11:45 Uhr

2026-05-20T11:45:26Z

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 === Quadrieren und Wurzelziehen ===
 Das '''Quadrat''' einer Zahl a ist diejenige Zahl b, die sich ergibt, wenn man a mit sich selbst multipliziert, also: <code>b = a² = a ⋅ a</code>. Die '''Quadratwurzel''' aus einer Zahl a mit <code>a ≥ 0</code> ist diejenige Zahl b mit b ≥ 0, die mit sich selbst multipliziert a ergibt. Es gilt √a = b, da b² = a ist. Dabei ist a, also der Term unter der Wurzel der Radikand. Aus einer negativen Zahl kann keine Quadratwurzel gezogen werden. Genauso kann die Quadratwurzel einer Zahl nicht negativ sein. Die Quadratwurzel aus 0 ist 0.<br>
-Das Quadrieren ist die '''Umkehrung''' zum Wurzelziehen, da gilt: (√a)² = a für alle a ≥ 0. Das Wurzelziehen ist nur für nichtnegative Zahlen die Umkehrung des Quadrierens, da gilt: √(a²) = |a| für alle a. Dabei sind die zwei Striche die Betragsoperation, die also angibt, wie weit eine Zahl von der 0 am Zahlenstrahl entfernt ist, folglich macht die Betragsoperation die Zahl darin nichtnegativ.
+Das '''Quadrieren''' ist die '''Umkehrung''' zum Wurzelziehen, da gilt: (√a)² = a für alle a ≥ 0. Das Wurzelziehen ist nur für nichtnegative Zahlen die Umkehrung des Quadrierens, da gilt: √(a²) = |a| für alle a. Dabei sind die zwei Striche die Betragsoperation, die also angibt, wie weit eine Zahl von der 0 am Zahlenstrahl entfernt ist, folglich macht die '''Betragsoperation''' die Zahl darin nichtnegativ.
 == Wurzelgesetze mit dem Radikanden ==
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 * für a = 0 nur die (doppelte) Lösung x<sub>1;2</sub> = 0,
 * für a < 0 keine reelle Lösung.

Albert 3Stein: Die Seite wurde neu angelegt: „== Definition == Die reellen Zahlen bilden einen vollständigen Zahlenbereich. === Reelle Zahlen === Der Unterschied zwischen dem nächstkleineren Zahlenbereich, den rationalen Zahlen, ist, dass die rationalen Zahlen entweder abbrechend oder periodisch sind, jedoch gibt es Zahlen, die keine periodische Nachkommastellenabfolge besitzen und doch unendlich viele Nachkommastellen haben. Diese nennt man '''irrationale''' Zahlen. Die rationalen und irrationalen…“

2026-05-06T12:35:51Z

Die Seite wurde neu angelegt: „== Definition == Die reellen Zahlen bilden einen vollständigen Zahlenbereich. === Reelle Zahlen === Der Unterschied zwischen dem nächstkleineren Zahlenbereich, den rationalen Zahlen, ist, dass die rationalen Zahlen entweder abbrechend oder periodisch sind, jedoch gibt es Zahlen, die keine periodische Nachkommastellenabfolge besitzen und doch unendlich viele Nachkommastellen haben. Diese nennt man '''irrationale''' Zahlen. Die rationalen und irrationalen…“

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== Definition ==
Die reellen Zahlen bilden einen vollständigen Zahlenbereich.
=== Reelle Zahlen ===
Der Unterschied zwischen dem nächstkleineren Zahlenbereich, den rationalen Zahlen, ist, dass die rationalen Zahlen entweder abbrechend oder periodisch sind, jedoch gibt es Zahlen, die keine periodische Nachkommastellenabfolge besitzen und doch unendlich viele Nachkommastellen haben. Diese nennt man '''irrationale''' Zahlen. Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen die reellen Zahlen.

=== Quadrieren und Wurzelziehen ===
Das '''Quadrat''' einer Zahl a ist diejenige Zahl b, die sich ergibt, wenn man a mit sich selbst multipliziert, also: <code>b = a² = a ⋅ a</code>. Die '''Quadratwurzel''' aus einer Zahl a mit <code>a ≥ 0</code> ist diejenige Zahl b mit b ≥ 0, die mit sich selbst multipliziert a ergibt. Es gilt √a = b, da b² = a ist. Dabei ist a, also der Term unter der Wurzel der Radikand. Aus einer negativen Zahl kann keine Quadratwurzel gezogen werden. Genauso kann die Quadratwurzel einer Zahl nicht negativ sein. Die Quadratwurzel aus 0 ist 0. 
Das Quadrieren ist die '''Umkehrung''' zum Wurzelziehen, da gilt: (√a)² = a für alle a ≥ 0. Das Wurzelziehen ist nur für nichtnegative Zahlen die Umkehrung des Quadrierens, da gilt: √(a²) = |a| für alle a. Dabei sind die zwei Striche die Betragsoperation, die also angibt, wie weit eine Zahl von der 0 am Zahlenstrahl entfernt ist, folglich macht die Betragsoperation die Zahl darin nichtnegativ.

== Wurzelgesetze mit dem Radikanden ==
Wenn p und q ganze Zahlen mit q ≠ 0 sind, dann gilt: <code>√(p⋅q) = √p ⋅ √q</code> und <code>√(p/q) = (√p)/√q</code>. Für Addition und Subtraktion gilt dies nicht.

== Quadratische Gleichungen der Form x² = a ==
Die quadratische Gleichung x² = a hat
* für a > 0 die beiden Lösungen x1 = √a und x2 = -√a,
* für a = 0 nur die (doppelte) Lösung x1;2 = 0,
* für a < 0 keine reelle Lösung.