Mathematik: Lineare Gleichungssysteme

Definition

Graphisch

Lineare Gleichungssysteme sind Systeme zweier linearer Funktionen, in denen man die Schnittpunkte der Graphen dieser Funktionen bestimmen kann. Die x- und y-Wert(e), die in diesen Funktionsgleichungen vorkommen, sind die x- und y-Wert(e) dieser Schnittpunkte.

Rechnerisch

Lineare Gleichungssysteme sind gemeinsame Werte von (normalerweise) zwei Gleichungen mit zwei Variablen, in der (implizierten) Form ax + by + c = 0..

Lösungsmethoden

Es gibt 4 verschiedene Lösungsmethoden für klassische lineare Gleichungssysteme:

Graphisches Verfahren

1. Zeichne die zwei linearen Funktionen in ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein, wie es hier beschrieben ist.
2. Markiere den Schnittpunkt der beiden Geraden (falls es einen gibt).

Gleichsetzungsverfahren

Wenn in den beiden Gleichungen die Terme auf einer Seite gleich sind, und die anderen Seiten nur eine Variable haben, kann man die anderen Seiten gleich setzen. Diese eine Variable kann man in der neu entstandenen Gleichung isolieren und in eine der ersten Gleichungen einsetzen, um die andere Variable zu ermitteln. Manchmal ist die Gleichsetz-Bedingung nicht ganz erfüllt, dann muss man Termumformungen durchführen. Hier ein Beispiel:

  | 2y = 3x + 7 |
  | 2y = 7x + 3 |

  3x + 7 = 7x + 3
      3x = 7x - 4
     -4x = -4
       x = 1
       y = 5

Einsetzungsverfahren

Wenn in einer der beiden Gleichungen eine Variable isoliert ist, kann man den Term, für den diese Variable steht, in die andere Gleichungen einsetzen. Die verbliebene Variable kann man in der neu entstandenen Gleichung isolieren und in eine der ersten Gleichungen einsetzen.

Additionsverfahren

Wenn die Gleichungen sich addieren (oder subtrahieren) lassen und eine der Variablen ist eliminiert, mache dies. Die verbliebene Variable kann man in der neu entstandenen Gleichung isolieren und in eine der ersten Gleichungen einsetzen.