Mathematik: Quadratische Gleichungen und Funktionen

Quadratische Funktionen sind Polynome 2. Grades, d. h. sie enthalten in der Funktionsgleichung ein x². Zu Quadrieren und Wurzelziehen hier. Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, die nach Nullstellen dieser Funktionen suchen.

Quadratische Gleichungen

Einfache Gleichungen und Lösungen derer

x² - a = 0

Diese Gleichung wird in diesem Artikel betrachtet.

a(x - d)² + e = 0

Diese Gleichung ist die Suche nach Nullstellen der Scheitelpunktform. Man löst diese Gleichung, indem man zuerst e subtrahiert, durch a dividiert und die Wurzel zieht. Nachdem man mit d addiert, erhält man zwei verschiedene Werte für x.

Satz vom Nullprodukt

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass bei einem Produkt, dass 0 beträgt, mindestens einer der Faktoren 0 sein muss. Wir betrachten also die Gleichung (x - a)(x - b) = 0. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist entweder x - a oder x - b gleich 0, weshalb die beiden Lösungen x1 = a und x2 = b lauten.
Der Satz vom Nullprodukt gilt auch für mehrere Faktoren und auch für andere Arten von Faktoren.

pq-Formel

Wir betrachten die Gleichung x² + px + q. Um sie zu lösen, wird die pq-Formel angewendet. Um sie herzuleiten, wird das Prinzip der quadratischen Ergänzung angewandt. Es handelt sich um das Ergänzen von einem Term x² + px zu einer binomischen Formel. Man tut es, indem man p halbiert, quadriert und schließlich addiert. So wird also die pq-Formel hergeleitet:

     x² + px + q = 0            |-q
         x² + px = -q           |+(p/2)²
x² + px + (p/2)² = (p/2)² - q   |bin. Formel
      (x + p/2)² = (p/2)² - q   |√
         x + p/2 = ±√(p/2)² - q |-(p/2)
               x = -(p/2) ± √(p/2)² - q

Also lautet die pq-Formel: x1,2 = -(p/2) ± √(p/2)² - q.

abc-Formel

Dies ist auch eine allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen, nämlich der Form ax² + bx + c. Diese lässt sich gleich herleiten wie die pq-Formel und ist weniger im Gebrauch. Um solch eine quadratische Gleichung zu lösen, kann man auch durch a dividieren und anschließend die pq-Formel nutzen.

Quadratische Funktionen

Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.

Die Normalparabel

Die Normalparabel ist der Graph der einfachsten quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung y = x². Die Normalparabel wird von -∞ bis 0 immer flacher, im Zeitpunkt x = 0 hat sie ihre einzige Nullstelle, ihren Scheitelpunkt und die Steigung 0 und von 0 bis ∞ immer steiler. Die Normalparabel ist nach unten geöffnet.

Strecken, Stauchen und Spiegeln der Normalparabel

Der Graph der Funktion f mit f(x) = ax² ist eine Parabel. Der Graph entsteht aus der Normalparabel durch Streckung oder Stauchung um den Faktor a.

• a > 1 oder a < 1: Streckung ("schmaler als die Normalparabel)
• 0 < a < 1 oder -1 < a < 1: Stauchung ("breiter" als die Normalparabel)

Für a < 0 wird die Parabel zusätzlich an der x-Achse gespiegelt und ist nach unten geöffnet.

Verschieben der Normalparabeln in y-Richtung

Der Graph der Funktion f mit f(x) = x² + c entsteht aus der Normalparabel durch Verschiebung um c Einheiten entlang der y-Achse. Der Schnittpunkt der Parabel liegt bei S(0|c).

• c < 0: Verschiebung nach unten, f hat zwei Nullstellen.
• c = 0: Normalparabel, f hat eine Nullstelle.
• c > 0: Verschiebung nach oben, f hat keine Nullstellen.

Verschieben der Normalparabeln in x-Richtung

Der Graph der Funktion f mit f(x) = (x - d)² entsteht aus der Normalparabel durch Verschiebung um d Einheiten entlang der x-Achse. Der Schnittpunkt der Parabel liegt bei S(d|0).

• c < 0: Verschiebung nach rechts
• c > 0: Verschiebung nach links

Scheitelpunktform

Der Graph der Funktion f mit f(x) = a(x - d)² + e ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(d|e). Der Graph von f entsteht aus der Normalparabel

• durch Streckung oder Stauchung mit dem Streckfaktor a,
• für a < 0 zusätzlich durch Spiegelungen an der x-Achse,
• durch Verschiebung entlang der x-Achse um d Einheiten,
• durch Verschiebung entlang der y-Achse um e Einheiten.

Hat eine quadratische Funktion eine Funktionsgleichung der Form f(x) = a(x - d)² + e, so spricht man von der Scheitelpunktform, da man die Koordinaten des Scheitelpunkts aus der Funktionsgleichung direkt ablesen kann.

Fotoquellen

• Wikipedia