Mathematik: Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind Polynome ersten Grades. Hier erfährst du genauere Fakten über lineare Funktionen.

Definition linearer Funktionen

Lineare Funktionen sind Geraden im kartesischen Koordinatensystem. Sie werden der folgenden Form dargestellt:
y = mx + b m ist die Steigung der Funktion und b ist der y-Achsenabschnitt, das heißt die y-Koordinate des Schnittpunkts von der Funktion mit der y-Achse. m und b werden oft auch anders genannt.

Zeichnen einer linearer Funktion

Sei m eine rationale Zahl, also m = p/q. Dann lautet die Konstruktion einer linearen Funktion mit gegebenem m und b wie folgt:

1. Markiere den Punkt (0|b).
2. Gehe q Einheiten nach rechts und p Einheiten nach oben (oder, wenn m negativ ist, p Einheiten nach unten) und markiere den neu entstandenen Punkt.
3. Verbinde die beiden Punkte.

Nullstellen ermitteln

Nullstellen einer Funktion sind die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse. Dabei sind die y-Werte der Schnittpunkte gleich 0, also setzt man für y in der Funktionsgleichung 0 ein. Beispiel:

     y = -5x + 4  |y = 0
     0 = -5x + 4  |-4
    -4 = -5x   |:(-5/3)
    20 = x

Also liegt die Nullstelle bei (20|0). Übrigens: Es gibt immer eine Nullstelle bei linearen Funktionen, aber bei Geraden nicht unbedingt (Fall y = 0).

Parallele und orthogonale Geraden

Zwei Geraden sind parallel zueinander, wenn die Steigung der linearen Funktionen gleich sind. Dagegen sind zwei Geraden orthogonal zueinander, wenn die Steigung der einen Funktion der negative Kehrwert der Steigung der anderen Funktion ist. Der y-Achsenabschnitt spielt keine Rolle.
Beispiel: Seien y₁ = 3x + 5, y₂ = 3x - 2026 und y₃ = (-1/3)x + 5. Dann sind y₁ und y₂ parallel und y₁ und y₃ orthogonal zueinander.

Geraden, die parallel zu den Koordinatenachsen sind

Geraden, die parallel zu der x-Achse sind, sind der Form y = b (wo das m also 0 ist). Geraden, die dagegen parallel zu der y-Achse sind, sind KEINE Funktionen, da zu einem bestimmten x-Wert unendlich viele y-Werte zugeordnet sind.

Geradengleichungen mit zwei gegebenen Punkten

Seien die Punkte A(x₁|y₁) und B(x₂|y₂) gegeben, die auf einer linearen Funktion sind. Die Steigung der Funktion lässt sich mit dieser Formel bestimmen: m = (y2 - y1)/(x2 - x1). Dieses m und einen beliebigen Punkt (A oder B) kann man in die Formel y = mx + b einsetzen und erhält eine Gleichung mit einer Variablen, nämlich b. Nach Lösen dieser Gleichung ist man fertig.