Mathematik: Reelle Zahlen - Quadrieren und Wurzelziehen

Definition

Die reellen Zahlen bilden einen vollständigen Zahlenbereich.

Reelle Zahlen

Der Unterschied zwischen dem nächstkleineren Zahlenbereich, den rationalen Zahlen, ist, dass die rationalen Zahlen entweder abbrechend oder periodisch sind, jedoch gibt es Zahlen, die keine periodische Nachkommastellenabfolge besitzen und doch unendlich viele Nachkommastellen haben. Diese nennt man irrationale Zahlen. Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen die reellen Zahlen.

Quadrieren und Wurzelziehen

Das Quadrat einer Zahl a ist diejenige Zahl b, die sich ergibt, wenn man a mit sich selbst multipliziert, also: b = a² = a ⋅ a. Die Quadratwurzel aus einer Zahl a mit a ≥ 0 ist diejenige Zahl b mit b ≥ 0, die mit sich selbst multipliziert a ergibt. Es gilt √a = b, da b² = a ist. Dabei ist a, also der Term unter der Wurzel der Radikand. Aus einer negativen Zahl kann keine Quadratwurzel gezogen werden. Genauso kann die Quadratwurzel einer Zahl nicht negativ sein. Die Quadratwurzel aus 0 ist 0.
Das Quadrieren ist die Umkehrung zum Wurzelziehen, da gilt: (√a)² = a für alle a ≥ 0. Das Wurzelziehen ist nur für nichtnegative Zahlen die Umkehrung des Quadrierens, da gilt: √(a²) = |a| für alle a. Dabei sind die zwei Striche die Betragsoperation, die also angibt, wie weit eine Zahl von der 0 am Zahlenstrahl entfernt ist, folglich macht die Betragsoperation die Zahl darin nichtnegativ.

Einige Quadratzahlen

n	n²
11	121
12	144
13	169
14	196
15	225
16	256
17	289
18	324
19	361
20	400
21	441
22	484
23	529
24	576
25	625
26	676

Wurzelgesetze mit dem Radikanden

Wenn p und q ganze Zahlen mit q ≠ 0 sind, dann gilt: √(p⋅q) = √p ⋅ √q und √(p/q) = (√p)/√q. Für Addition und Subtraktion gilt dies nicht.

Quadratische Gleichungen der Form x² = a

Die quadratische Gleichung x² = a hat

• für a > 0 die beiden Lösungen x₁ = √a und x₂ = -√a,
• für a = 0 nur die (doppelte) Lösung x_1;2 = 0,
• für a < 0 keine reelle Lösung.

Teilweises Wurzelziehen und Wurzeln zusammenfassen

Unter teilweises Wurzelziehen versteht man, dass man den Radikand als Produkt aus einer Quadratzahl und einer weiteren natürlichen Zahl schreibt und man dann aus der Quadratzahl die Wurzel zieht. Bsp.: √54 = √9 ⋅ √6 = 3√6
Unter Zusammenfassen von Wurzeln versteht man die Addition von Wurzeln, z. B. √5 + 3√5 = 4√5.

Rationalmachen des Ńenners

Wenn man einen Bruch mit einer Wurzel als Bruch hat, dann erweitert man mit dem Nenner. Die Wurzel befindet sich dann im Zähler. Bsp.: 2/√5 = 2√5/5 = (2/5)√5.

Beweis, dass √2 irrational ist

kommt noch