Mathematik: Quadratische Gleichungen und Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 3. Juni 2026, 14:18 Uhr

Quadratische Funktionen sind Polynome 2. Grades, d. h. sie enthalten in der Funktionsgleichung ein x². Zu Quadrieren und Wurzelziehen hier. Quadratische Gleichungen sind die Suche nach Nullstellen dieser Funktionen.

Quadratische Gleichungen

Einfache Gleichungen und Lösungen derer

x² - a = 0

Diese Gleichung wird in diesem Artikel betrachtet.

a(x - d)² + e = 0

Man löst diese Gleichung, indem man zuerst e subtrahiert, durch a dividiert und die Wurzel zieht. Nachdem man mit d addiert, erhält man zwei verschiedene Werte für x.

Satz vom Nullprodukt

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass bei einem Produkt, dass 0 beträgt, mindestens einer der Faktoren 0 sein muss. WIr betrachten also die Gleichung (x - a)(x - b) = 0. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist entweder x - a oder x - b gleich 0, weshalb die beiden Lösungen x₁ = a und x₂ = b lauten.
Der Satz vom Nullprodukt gilt auch für mehrere Faktoren und auch für andere Arten von Faktoren.

pq-Formel

Wir betrachten die Gleichung x² + px + q. Um sie zu lösen, wird die pq-Formel angewendet. Um sie herzuleiten, wird das Prinzip der quadratischen Ergänzung angewandt. Es handelt sich um das Ergänzen von einem Term x² + px zu einer binomischen Formel. Man tut es, indem man p halbiert, quadriert und schließlich addiert. So wird also die pq-Formel hergeleitet:

     x² + px + q = 0            |-q
         x² + px = -q           |+(p/2)²
x² + px + (p/2)² = (p/2)² - q   |bin. Formel
      (x + p/2)² = (p/2)² - q   |√
         x + p/2 = ±√(p/2)² - q |-(p/2)
               x = -(p/2) ± √(p/2)² - q

Also lautet die pq-Formel: x_1,2 = -(p/2) ± √(p/2)² - q.

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 Quadratische Funktionen sind Polynome 2. Grades, d. h. sie enthalten in der Funktionsgleichung ein <code>x²</code>. Zu Quadrieren und Wurzelziehen [[Mathematik: Reelle Zahlen - Quadrieren und Wurzelziehen|hier]]. Quadratische Gleichungen sind die Suche nach Nullstellen dieser Funktionen.
+== Quadratische Gleichungen ==
+=== Einfache Gleichungen und Lösungen derer ===
+==== x² - a = 0 ====
+Diese Gleichung wird in [[Mathematik: Reelle Zahlen - Quadrieren und Wurzelziehen|diesem Artikel]] betrachtet.
+==== a(x - d)² + e = 0 ====
+Man löst diese Gleichung, indem man zuerst e subtrahiert, durch a dividiert und die [[Mathematik: Reelle Zahlen - Quadrieren und Wurzelziehen|Wurzel]] zieht. Nachdem man mit d addiert, erhält man zwei verschiedene Werte für x.
+=== Satz vom Nullprodukt ===
+Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass bei einem Produkt, dass 0 beträgt, mindestens einer der Faktoren 0 sein muss. WIr betrachten also die Gleichung <code>(x - a)(x - b) = 0</code>. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist entweder <code>x - a</code> oder <code>x - b</code> gleich 0, weshalb die beiden Lösungen <code>x<sub>1</sub> = a</code> und <code>x<sub>2</sub> = b</code> lauten. <br>
+Der Satz vom Nullprodukt gilt auch für mehrere Faktoren und auch für andere Arten von Faktoren.
+=== pq-Formel ===
+Wir betrachten die Gleichung <code>x² + px + q</code>. Um sie zu lösen, wird die pq-Formel angewendet. Um sie herzuleiten, wird das Prinzip der '''quadratischen Ergänzung''' angewandt. Es handelt sich um das Ergänzen von einem Term x² + px zu einer binomischen Formel. Man tut es, indem man p halbiert, quadriert und schließlich addiert. So wird also die pq-Formel hergeleitet:
+<pre>
+     x² + px + q = 0            |-q
+         x² + px = -q           |+(p/2)²
+x² + px + (p/2)² = (p/2)² - q   |bin. Formel
+      (x + p/2)² = (p/2)² - q   |√
+         x + p/2 = ±√(p/2)² - q |-(p/2)
+               x = -(p/2) ± √(p/2)² - q
+</pre>
+Also lautet die pq-Formel: <code>x<sub>1,2</sub> = -(p/2) ± √(p/2)² - q</code>.