Mathematik: Quadratische Gleichungen und Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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Man löst diese Gleichung, indem man zuerst e subtrahiert, durch a dividiert und die [[Mathematik: Reelle Zahlen - Quadrieren und Wurzelziehen|Wurzel]] zieht. Nachdem man mit d addiert, erhält man zwei verschiedene Werte für x. | |||
=== Satz vom Nullprodukt === | |||
Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass bei einem Produkt, dass 0 beträgt, mindestens einer der Faktoren 0 sein muss. WIr betrachten also die Gleichung <code>(x - a)(x - b) = 0</code>. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist entweder <code>x - a</code> oder <code>x - b</code> gleich 0, weshalb die beiden Lösungen <code>x<sub>1</sub> = a</code> und <code>x<sub>2</sub> = b</code> lauten. <br> | |||
Der Satz vom Nullprodukt gilt auch für mehrere Faktoren und auch für andere Arten von Faktoren. | |||
=== pq-Formel === | |||
Wir betrachten die Gleichung <code>x² + px + q</code>. Um sie zu lösen, wird die pq-Formel angewendet. Um sie herzuleiten, wird das Prinzip der '''quadratischen Ergänzung''' angewandt. Es handelt sich um das Ergänzen von einem Term x² + px zu einer binomischen Formel. Man tut es, indem man p halbiert, quadriert und schließlich addiert. So wird also die pq-Formel hergeleitet: | |||
<pre> | |||
x² + px + q = 0 |-q | |||
x² + px = -q |+(p/2)² | |||
x² + px + (p/2)² = (p/2)² - q |bin. Formel | |||
(x + p/2)² = (p/2)² - q |√ | |||
x + p/2 = ±√(p/2)² - q |-(p/2) | |||
x = -(p/2) ± √(p/2)² - q | |||
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Also lautet die pq-Formel: <code>x<sub>1,2</sub> = -(p/2) ± √(p/2)² - q</code>. | |||
Aktuelle Version vom 3. Juni 2026, 14:18 Uhr
Quadratische Funktionen sind Polynome 2. Grades, d. h. sie enthalten in der Funktionsgleichung ein x². Zu Quadrieren und Wurzelziehen hier. Quadratische Gleichungen sind die Suche nach Nullstellen dieser Funktionen.
Quadratische Gleichungen
[Bearbeiten]Einfache Gleichungen und Lösungen derer
[Bearbeiten]x² - a = 0
[Bearbeiten]Diese Gleichung wird in diesem Artikel betrachtet.
a(x - d)² + e = 0
[Bearbeiten]Man löst diese Gleichung, indem man zuerst e subtrahiert, durch a dividiert und die Wurzel zieht. Nachdem man mit d addiert, erhält man zwei verschiedene Werte für x.
Satz vom Nullprodukt
[Bearbeiten]Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass bei einem Produkt, dass 0 beträgt, mindestens einer der Faktoren 0 sein muss. WIr betrachten also die Gleichung (x - a)(x - b) = 0. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist entweder x - a oder x - b gleich 0, weshalb die beiden Lösungen x1 = a und x2 = b lauten.
Der Satz vom Nullprodukt gilt auch für mehrere Faktoren und auch für andere Arten von Faktoren.
pq-Formel
[Bearbeiten]Wir betrachten die Gleichung x² + px + q. Um sie zu lösen, wird die pq-Formel angewendet. Um sie herzuleiten, wird das Prinzip der quadratischen Ergänzung angewandt. Es handelt sich um das Ergänzen von einem Term x² + px zu einer binomischen Formel. Man tut es, indem man p halbiert, quadriert und schließlich addiert. So wird also die pq-Formel hergeleitet:
x² + px + q = 0 |-q
x² + px = -q |+(p/2)²
x² + px + (p/2)² = (p/2)² - q |bin. Formel
(x + p/2)² = (p/2)² - q |√
x + p/2 = ±√(p/2)² - q |-(p/2)
x = -(p/2) ± √(p/2)² - q
Also lautet die pq-Formel: x1,2 = -(p/2) ± √(p/2)² - q.