Mathematik: Lineare Gleichungssysteme

Definition

Grafische Sicht

Lineare Gleichungssysteme sind Systeme von 2 Funktionsgleichungen von Geraden (siehe auch hier). In diesen kommen die Variablen x, y vor. Die sogenannten Lösungen x und y bilden den Schnittpunkt der Geraden. Ein Beispiel für ein so definiertes Gleichungssystem wäre:

| y = 2x + 6     |
| y = (3/4)x + 3 |

Rechnerische Sicht

Lineare Gleichungssysteme sind 2 beliebige Gleichungen der Form ax + by = c, die ein Lösungspaar (x, y) haben.

Lösungsmöglichkeiten

Grafisches Verfahren

Dieses Verfahren funktioniert folgendermaßen:

1. Forme alle Gleichungen zu Gleichungen der Form y = mx + b mit Hilfe von Äquivalenzumformungen um.
2. Zeichne die Geraden der zugehörigen, nun entstandenen Funktionsgleichung in einem Koordinatensystem.
3. Nun ist der Schnittpunkt im Koordinatensystem erkennbar. Dies ist die Lösung des Systems.

Ein Beispiel wäre:

| 2x + y = 6     |
| y = (5/2)x + 2 |

Gleichsetzungsverfahren

Eines der rechnerischen Verfahren ist das Gleichsetzungsverfahren. Es funktioniert so:

1. Forme alle beiden Gleichungen zur Gleichung ax = by + c oder by = ax + c. Dabei ist in beiden Gleichungen das a bzw. b gleich.
2. Nun setze die anderen Seiten gleich und isoliere die verbleibende Variable.
3. Setze die gefundene Variable in eine der beiden Gleichungen ein.

Einsetzungsverfahren

Dieses funktioniert so:

1. Isoliere in einer der Gleichungen eine der Variable.
2. Setze diesen Term in die andere Gleichung ein.
3. Isoliere die verbleibende Variable und setze die nun herausgefundene Variable in die andere Gleichung ein.

Additionsverfahren

Dieses funktioniert so:

1. Multipliziere eine der Gleichungen so, dass der Koeffizient einer der Variablen das additive Inverse des Koeffizientes der gleichen Variable in der anderen Gleichung ist.
2. Addiere die Gleichungen und isoliere die verbleibende Variable.
3. Setze die gefundene Variable die andere Gleichung ein.