Mathematik: Quadratische Gleichungen und Funktionen

Quadratische Funktionen sind Polynome 2. Grades, d. h. sie enthalten in der Funktionsgleichung ein x². Zu Quadrieren und Wurzelziehen hier. Quadratische Gleichungen sind die Suche nach Nullstellen dieser Funktionen.

Quadratische Gleichungen

Einfache Gleichungen und Lösungen derer

x² - a = 0

Diese Gleichung wird in diesem Artikel betrachtet.

a(x - d)² + e = 0

Man löst diese Gleichung, indem man zuerst e subtrahiert, durch a dividiert und die Wurzel zieht. Nachdem man mit d addiert, erhält man zwei verschiedene Werte für x.

Satz vom Nullprodukt

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass bei einem Produkt, dass 0 beträgt, mindestens einer der Faktoren 0 sein muss. WIr betrachten also die Gleichung (x - a)(x - b) = 0. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist entweder x - a oder x - b gleich 0, weshalb die beiden Lösungen x₁ = a und x₂ = b lauten.
Der Satz vom Nullprodukt gilt auch für mehrere Faktoren und auch für andere Arten von Faktoren.

pq-Formel

Wir betrachten die Gleichung x² + px + q. Um sie zu lösen, wird die pq-Formel angewendet. Um sie herzuleiten, wird das Prinzip der quadratischen Ergänzung angewandt. Es handelt sich um das Ergänzen von einem Term x² + px zu einer binomischen Formel. Man tut es, indem man p halbiert, quadriert und schließlich addiert. So wird also die pq-Formel hergeleitet:

     x² + px + q = 0            |-q
         x² + px = -q           |+(p/2)²
x² + px + (p/2)² = (p/2)² - q   |bin. Formel
      (x + p/2)² = (p/2)² - q   |√
         x + p/2 = ±√(p/2)² - q |-(p/2)
               x = -(p/2) ± √(p/2)² - q

Also lautet die pq-Formel: x_1,2 = -(p/2) ± √(p/2)² - q.